Question

如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：①△ACE≌△DCB； ②CM=CN；③AC=DN； ④PC平分∠APB； ⑤∠APD=60°．其中不正确结论是

 

．（填序号）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：利用边角边即可证明△ACE与△DCB全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠CAM=∠CDN，再利用角边角证明△ACM≌△DCN，根据全等三角形对应边相等可得CM=CN，DN=AM，同理可证明△BCN≌△ECM，根据全等三角形对应边相等可得BN=EM，根据三角形面积公式求出CQ=CH，即可判断④，根据三角形外角性质推出∠APD=60°．

解答：解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠DCB=120°，
在△ACE与△DCB中，

AC=DC ∠ACE=∠DCB CB=CE

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），故①正确；
∴∠CAM=∠CDN，
在△ACM与△DCN中

∠CAM=∠CDN AC=DC ∠ACM=∠DCN=60°

，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，故②正确；
DN=AM，
在△AMC中，AC＞AM，
∴AC≠DN，故③错误；
过C作CQ⊥DB于Q，CH⊥AE于H，
∵△ACM≌△DCN，
∴△ACM和△DCN的面积相等，
∵DN=AM，
∴由三角形面积公式得：CQ=CH，
∴CP平分∠APB，∴④正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，
∵∠ECB=60°，
∴∠EAC+∠AEC=∠ECB=60°，
∴∠APD=∠EAC+∠ABP=∠EAC+∠AEC=60°，∴⑤正确；
故答案为：③．

点评：本题考查了等边三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，综合性比较强．