Question

如图，点B的坐标是（4，4），作BA⊥x轴于点A，作BC⊥y轴于点C，反比例函数（k＞0）的图象经过BC的中点E，与AB交于点F，分别连接OE、CF，OE与CF交于点M，连接AM．
（1）求反比例函数的函数解析式及点F的坐标；
（2）你认为线段OE与CF有何位置关系？请说明你的理由．
（3）求证：AM=AO．

Answer 1

（1）解：∵正方形ABCO，B（4，4），E为BC中点，
∴OA=AB=BC=OC=4，CE=BE=2，F的横坐标是4，
∴E的坐标是（2，4），
把E的坐标代入y=得：k=8，
∴y=，
∵F在双曲线上，
∴把F的横坐标是4代入得：y=2，
∴F（4，2），
答：反比例函数的函数解析式是y=，点F的坐标是（4，2）．

（2）线段OE与CF的位置关系是OE⊥CF，
理由是：∵E的坐标是（2，4），点F的坐标是（4，2），
∴AF=4-2=2=CE，
∵正方形OABC，
∴OC=BC，∠B=∠BCO=90°，
∵在△OCE和△CBF中
，
∴△OCE≌△CBF，
∴∠COE=∠BCF，
∵∠BCO=90°，
∴∠COE+∠CEO=90°，
∴∠BCF+∠CEO=90°，
∴∠CME=180°-90°=90°，
即OE⊥CF．

（3）证明：∵OC=4，CE=2，由勾股定理得：OE=2，
过M作MN⊥OC于N，
∵OE⊥CF，
∴∠CMO=∠OCE=90°，
∵∠COE=∠COE，
∴△CMO∽△ECO，
∴==，
即==，
解得：CM=，OM=，
在△CMO中，由三角形的面积公式得：×OC×MN=×CM×OM，
即4MN=×，
解得：MN=，
在△OMN中，由勾股定理得：ON==，
即M（，），
∵A（4，0），
∴由勾股定理得：AM=4=AO，
即AM=AO．
分析：（1）求出E的坐标，求出反比例函数的解析式，把x=4代入即可求出F的坐标；
（2）证△OCE≌△CBF，推出∠COE=∠BCF，求出∠ECF+∠CEO=90°即可；
（3）过M作MN⊥OC于N，证△CMO和△ECO相似，求出CM、OM，根据三角形的面积公式求出MN，根据勾股定理求出ON，得出M的坐标，根据勾股定理求出AM的值即可．
点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度．