Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在y轴和x轴的正半轴，矩形OABC
的面积为36，以AO为直径作⊙D，2OC=9AD
（1）求圆心D的坐标；
（2）动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位的速度向终点B运动，过P作⊙D的切线交x轴于Q，切点为E，若OQ的长度为y，点P的运动时间为t，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时△PDQ与以P、B、C为顶点的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）设AD=r，表示出AO、OC，然后根据矩形的面积列式求解即可得到r，再写出点D的坐标即可；
（2）根据切线长定理可得∠APD=∠EPD，∠OQD=∠EQD，然后求出∠APD+∠OQD=90°，再求出∠APD+∠ADP=90°，从而得到∠ADP=∠OQD，然后求出△ADP和△OQD相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解，根据AB的长度写出t的取值范围；
（3）利用勾股定理列式求出DP、DQ，然后求出

DP

DQ

，再根据相似三角形对应边成比例分两种情况列出比例式计算即可得解．

解答：解：（1）设AD=r，则AO=2r，
∵2OC=9AD，
∴OC=

9

2

r，
∴矩形OABC的面积=AO•OC=2r•

9

2

r=9r²=36，
解得r=2，
∴点D的坐标为（0，2）；

（2）由切线长定理得，∠APD=∠EPD，∠OQD=∠EQD，
∵AB∥OC，
∴∠APD+∠EPD+∠OQD+∠EQD=180°，
∴∠APD+∠OQD=90°，
∵∠OAB=90°，
∴∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠OQD，
又∵∠OAB=∠AOC=90°，
∴△ADP∽△OQD，
∴

AP

OD

=

AD

OQ

，
即

t

2

=

2

y

，
∴y=

4

t

，
∵OC=

9

2

r=

9

2

×2=9，
∴0＜t＜9；

（3）由勾股定理得，DP=

AP2+AD2

=

t2+22

=

t2+4

，
DQ=

OQ2+OD2

=

( 4 t )2+22

=

16 t2 +4

，
∴

DP

DQ

=

t2+4

16 t2 +4

=

t

2

，
∵∠APD+∠OQD=90°，
∴∠PQD+∠QPD=90°，
∴∠PDQ=90°，
∵△PDQ与以P、B、C为顶点的三角形相似，
∴

DP

DQ

=

PB

BC

或

DP

DQ

=

BC

PB

，
即

t

2

=

9-t

4

或

t

2

=

4

9-t

，
整理得，2t=9-t或t²-9t+8=0，
解得t=3或t₁=1，t₂=8，
∵0＜t＜9，
∴t为1秒或3秒或8秒时，△PDQ与以P、B、C为顶点的三角形相似．

点评：本题是圆的综合题型，主要利用了切线长定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，（2）求出两三角形相似是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．