Question

5．先观察：1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$，1-$\frac{1}{{3}^{2}}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$，1-$\frac{1}{{4}^{2}}$=$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$，…
（1）探究规律填空：1-$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{n-1}{n}$×$\frac{n+1}{n}$；
（2）计算：（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）$•（1-\frac{1}{{3}^{2}}）$$•（1-\frac{1}{{4}^{2}}）$…（1-$\frac{1}{201{4}^{2}}$）

Answer 1

分析 （1）观察已知等式得到一般性规律，写出即可；
（2）原式利用得出的规律变形，约分即可得到结果．

解答 解：（1）根据题意得：1-$\frac{1}{{n}^{2}}$=（1+$\frac{1}{n}$）（1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{n-1}{n}$×$\frac{n+1}{n}$；
故答案为：$\frac{n-1}{n}$；$\frac{n+1}{n}$；
（2）原式=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{2013}{2014}$×$\frac{2015}{2014}$=$\frac{2015}{4028}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．