Question

如图，正多边形A₁、A₂、A₃、A₄…An，曲线B₁B₂B₃B₄…B_n叫做“正多边形的渐开线”，其中A_nB₁、B₁B₂、B₂B₃、B₃B₄…的圆心依次按A₁、A₂、A₃、A₄…循环．循环一周就叫一周曲线长，当A₁A₂=1时，一周曲线长为

 

．

Answer 1

考点：弧长的计算

专题：压轴题,规律型

分析：观察图中可以发现曲线EFGHIJ的长度是由n个从小到大的扇形弧长组成的，所以利用弧长公式即可求出．

解答：解：正多边形A₁A₂A₃A₄…A_n，的每个外角都等于

360°

n

，
∵A_nB₁、B₁B₂、B₂B₃、B₃B₄…的圆心依次按A₁、A₂、A₃、A₄…循环，当A₁A₂=1时，
∴半径依次为1、2、3、…，n，
∴一周曲线长=

360 n •π•1

180

+

360 n •π•2

180

+

360 n •π•3

180

+…+

360 n •π•n

180

=

2

n

（1+2+3+…+n）π=

2

n

•

n(n+1)

2

π=（n+1）π．
故答案为（n+1）π．

点评：本题考查了弧长的计算：弧长=

n•π•R

180

（n为弧所对的圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了正多边形的性质．