题目内容
如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒3cm的速度移动，点Q从点C开始沿CD边向点D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为t秒．（1）求证：当t=
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（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由．
分析：（1）由题意可得当t=4秒时，两点停止运动，在运动过程中AP=3t，CQ=t，即可得BP=12-3t，DQ=6-t，由t=
，即可求得AP=DQ，又由AP∥DQ，即可判定四边形APQD是平行四边形；
（2）首先连接BD交PQ于点E，若PQ平分对角线BD，则DE=BE，易证得△DEQ≌△BEP，继而可得四边形DPBQ为平行四边形，则可得6-t=12-3t，解此方程即可求得答案．
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（2）首先连接BD交PQ于点E，若PQ平分对角线BD，则DE=BE，易证得△DEQ≌△BEP，继而可得四边形DPBQ为平行四边形，则可得6-t=12-3t，解此方程即可求得答案．
解答：
（1）证明：∵
＜
，
∴当t=4秒时，两点停止运动，在运动过程中AP=3t，CQ=t，
∴BP=12-3t，DQ=6-t，
当t=
时，DQ=6-
=
，AP=3×
=
，
∴AP=DQ，
又∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AP∥DQ，
∴四边形APQD为平行四边形；
（2）能，当t=3秒时，PQ平分对角线BD．
连接BD交PQ于点E，若PQ平分对角线BD，则DE=BE，
∵CD∥AB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△DEQ和△BEP中，
，
∴△DEQ≌△BEP（AAS），
∴DQ=BP，
即四边形DPBQ为平行四边形，
∴6-t=12-3t，
解得t=3，符合题意，
∴当t=3秒时，PQ平分对角线BD．
（1）证明：∵| 12 |
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∴当t=4秒时，两点停止运动，在运动过程中AP=3t，CQ=t，
∴BP=12-3t，DQ=6-t，
当t=
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∴AP=DQ，
又∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AP∥DQ，
∴四边形APQD为平行四边形；
（2）能，当t=3秒时，PQ平分对角线BD．
连接BD交PQ于点E，若PQ平分对角线BD，则DE=BE，
∵CD∥AB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△DEQ和△BEP中，
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∴△DEQ≌△BEP（AAS），
∴DQ=BP，
即四边形DPBQ为平行四边形，
∴6-t=12-3t，
解得t=3，符合题意，
∴当t=3秒时，PQ平分对角线BD．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
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