Question

18．已知关于x的方程 x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0．若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，则△ABC的周长为10．

Answer 1

分析 分a为腰长以及底边长两种情况考虑．①等a为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程解方程可得出底边长，再利用三角形的三边关系验证后可得出结论；②当a为底边长时，根据根的判别式△=0即可求出k值，将k值代入原方程解方程可得出腰长，再利用三角形的三边关系验证后即可得出结论．综上即可得出结论．

解答 解：①当a为腰长时，将x=4代入x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0中得：10-4k=0，
解得：k=$\frac{5}{2}$，
∴原方程为x²-6x+8=0，
解得：x₁=4，x₂=2，
∵4，4，2满足任意两边之和大于第三边，
∴C=4+4+2=10；
②当a为底边长时，方程 x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0有两个相等的实数根，
∴△=[-（2k+1）]²-4×1×4（k-$\frac{1}{2}$）=4k²-12k+9=0，
解得：k=$\frac{3}{2}$．
当k=$\frac{3}{2}$时，原方程为x²-4x+4=0，
解得：x=2，
∵2，2，4不满足任意两边之和大于第三边，
∴a为底边长不符合题意．
综上可知：△ABC的周长为10．
故答案为：10．

点评 本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，分a为腰长以及底边长两种情况考虑是解题的关键．