Question

【题目】如图，已知：△ABC的外接圆⊙O的圆心O在等腰△ABD的底边AD上，点E为弧AB上的一点，AB平分∠EAD，∠C＝60°，AB＝BD＝3．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2） .

【解析】

（1）连接OB，根据圆的基本性质，证OB⊥BD，即可得BD是⊙O的切线；（2）连接OE、BE，在Rt△OBD中，∠D＝30°，BD＝3，得OB＝，证E，B是半圆周的三等分点，得EB∥AO，证得S△ABE＝S△OBE，根据S阴影＝S扇形OEB可得.

（1）证明：连接OB，

∵∠C＝60°，

∴∠AOB＝2∠C＝120°，

∵OA＝OB，

∴∠BAO＝∠ABO＝30°，

∴AB＝BD，

∠BAO＝∠D＝30°，

∴∠ABD＝180°﹣∠BAO﹣∠D＝120°，

∴∠OBD＝∠ABD﹣∠ABO＝120°﹣30°＝90°，

即OB⊥BD，

∴BD是⊙O的切线；

（2）连接OE、BE，

在Rt△OBD中，∠D＝30°，BD＝3，

∴OB＝，

∵AB平分∠EAD，

∴∠EAB＝∠BAO＝30°，

∴∠EOB＝∠BOD＝60°，

∴E，B是半圆周的三等分点，

又∵OE＝OB，

∴△OBE是等边三角形，

∴∠OEB＝∠AOE＝60°，

∴EB∥AO，

∴S△ABE＝S△OBE，

∴S阴影＝S扇形OEB＝．