Question

5．如图，△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC的中点，AD⊥BM，交BC于点D，连接DM，求证：∠1=∠2．

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形，证明△ABM≌△CAF得AM=CF，∠1=∠AFC，再证明△DMC≌△DFC，得∠2=∠AFC，所以∠1=∠2．

解答 证明：延长AD至F，使CF⊥AC，
∴∠FCA=90°，
∴∠AFC+∠FAC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠FAC=90°，
∴∠AFC=∠BAD，
∵∠BAM=∠FCA=90°，AB=AC，
∴△ABM≌△CAF，
∴AM=CF，∠1=∠AFC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°-45°=45°，
∴∠ACB=∠BCF，
∵M是AC的中点，
∴AM=MC，
∴MC=FC，
∵DC=DC，
∴△DMC≌△DFC，
∴∠2=∠AFC，
∴∠1=∠2．

点评 本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，难度适中，本题辅助线的作法是关键，能正确构建全等三角形是本题的突破口，将所证明的两个角分别放在两个三角形中，确定一个中间量证明相等即可．