题目内容
（2012•衢州一模）如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在X轴，y轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，BD=| 1 |
| 4 |
| 2 |
y=-
x2+
x
| 1 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
y=-
x2+
x
，如果△AEF是等腰三角形时．将△AEF沿EF对折得△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积| 1 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
| 17 |
| 8 |
41
| ||
| 4 |
| 17 |
| 8 |
41
| ||
| 4 |
分析：首先过B作x轴的垂线，设垂足为M，由已知易求得OA=4
，在Rt△ABM中，已知了∠OAB的度数及AB的长，即可求出AM、BM的长，进而可得到BC、CD的长，再连接OD，证△ODE∽△AEF，通过得到的比例线段，即可得出y、x的函数关系式；
若△AEF是等腰三角形，应分三种情况讨论：
①AF=EF，此时△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，其面积可由梯形ABDE与△AEF的面积差求得；
②AE=EF，此时△AEF是等腰Rt△，且E是直角顶点，此时重合部分即为△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四边形AEDB是平行四边形，则AE=BD，进而可求得重合部分的面积；
③AF=AE，此时四边形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由（2）知：△ODE∽△AEF，那么此时OD=OE=3，由此可求得AE、AF的长，过F作x轴的垂线，即可求出△AEF中AE边上的高，进而可求得△AEF（即△A′EF）的面积．
| 2 |
若△AEF是等腰三角形，应分三种情况讨论：
①AF=EF，此时△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，其面积可由梯形ABDE与△AEF的面积差求得；
②AE=EF，此时△AEF是等腰Rt△，且E是直角顶点，此时重合部分即为△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四边形AEDB是平行四边形，则AE=BD，进而可求得重合部分的面积；
③AF=AE，此时四边形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由（2）知：△ODE∽△AEF，那么此时OD=OE=3，由此可求得AE、AF的长，过F作x轴的垂线，即可求出△AEF中AE边上的高，进而可求得△AEF（即△A′EF）的面积．
解答：
解：过B作BM⊥x轴于M；
Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°；则AM=BM=
；
∴BC=OA-AM=4
-
=
，CD=BC-BD=
；
连接OD；
如图（1），由（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°；
又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
∴由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，又∠2=∠DEA-45°，
∴∠1=∠2，
∴△ODE∽△AEF，
∴
=
，即：
=
，
∴y与x的解析式为：y=-
x2+
x，
当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；
①当EF=AF时，如图（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；
∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），
B在A′F上（A′F⊥EF）
∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；
∵AE=OA-OE=OA-CD=4
-
=
，
∴AF=AE•sin45°=
×
=
，
S△AEF=
EF•AF=
×(
)2=
，
∴S梯形AEDB=
(BD+AE)•DE=
×(
+
)×
=
，
∴S四边形BDEF=S梯形AEDB-S△AEF=
-
=
；
（也可用S阴影=S△A'EF-S△A'BD），
②当EF=AE时，如图（3），此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA，
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=
∴S△A′EF=S△AEF=
AE•EFS△A/EF=
×(
)2=1，
③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内．
∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3，
∴AE=AF=OA-OE=4
-3，
过F作FH⊥AE于H，则FH=AF•sin45°=(4
-3)×
=4-
，
∴S△A′EF=S△AEF=
AE•FH=
×(4
-3)•(4-
)=
，
综上所述，△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为
或1或
．
故答案为：y=-
x2+
x，
或1或
．
解：过B作BM⊥x轴于M；Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°；则AM=BM=
3
| ||
| 2 |
∴BC=OA-AM=4
| 2 |
3
| ||
| 2 |
5
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
连接OD；
如图（1），由（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°；
又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
∴由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，又∠2=∠DEA-45°，
∴∠1=∠2，
∴△ODE∽△AEF，
∴
| OE |
| AF |
| OD |
| AE |
| x |
| y |
| 3 | ||
4
|
∴y与x的解析式为：y=-
| 1 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；
①当EF=AF时，如图（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；
∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），
B在A′F上（A′F⊥EF）
∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；
∵AE=OA-OE=OA-CD=4
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 2 |
∴AF=AE•sin45°=
5
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 5 |
| 2 |
S△AEF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 25 |
| 8 |
∴S梯形AEDB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 2 |
3
| ||
| 2 |
| 21 |
| 4 |
∴S四边形BDEF=S梯形AEDB-S△AEF=
| 21 |
| 4 |
| 25 |
| 8 |
| 17 |
| 8 |
（也可用S阴影=S△A'EF-S△A'BD），
②当EF=AE时，如图（3），此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA，
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=
| 2 |
∴S△A′EF=S△AEF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内．
∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3，
∴AE=AF=OA-OE=4
| 2 |
过F作FH⊥AE于H，则FH=AF•sin45°=(4
| 2 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
∴S△A′EF=S△AEF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
3
| ||
| 2 |
41
| ||
| 4 |
综上所述，△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为
| 17 |
| 8 |
41
| ||
| 4 |
故答案为：y=-
| 1 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
| 17 |
| 8 |
41
| ||
| 4 |
点评：此题主要考查了梯形、平行四边形、等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定和性质；同时还考查了分类讨论的数学思想．
练习册系列答案
导学与测试系列答案
新非凡教辅冲刺100分系列答案
相关题目
（2012•衢州一模）正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（ ）
（2012•衢州一模）下图是数值转换机的示意图，小明按照其对应关系画出了y与x的函数图象．
垂直于y轴的直线l．在抛物线上有一动点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．