题目内容
（2012•衢州一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过 A（0，4），B（4，0），C（-1，0）三点．过点A作
垂直于y轴的直线l．在抛物线上有一动点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）是否存在点P，使得以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P位于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的右侧．若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．求当点M落在坐标轴上时直线AP的解析式．
垂直于y轴的直线l．在抛物线上有一动点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）是否存在点P，使得以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P位于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的右侧．若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．求当点M落在坐标轴上时直线AP的解析式．
分析：（1）将A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分别代入抛物线y=ax2+bx+c，列出方程组，即可求出函数解析式．
（2）当P在l下方时，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；当P在l上方时，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；
（3）画出函数图形，利用三角形相似，求出P点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式．
（2）当P在l下方时，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；当P在l上方时，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；
（3）画出函数图形，利用三角形相似，求出P点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式．
解答：解：（1）将A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分别代入抛物线y=ax2+bx+c得，
，
解得
，函数解析式为y=-x2+3x+4．
（2）P在l下方时，令①△AOC∽△AQP，
=
，
即
=
，
由于y=-x2+3x+4，
则有
=
，
解得x=0（舍去）或x=
，此时，y=
，P点坐标为（
，
）．
②△AOC∽△PQA，
=
，
即
=
，
由于y=-x2+3x+4，
则有
=
，
解得，x=0（舍去）或x=7，P点坐标为（7，-24）．
③P在l上方时，令△AOC∽△PQA，
=
，
即
=
，
∵y=-x2+3x+4，
∴
=
，
解得，x=0（舍去）或x=-1，P点坐标为（-1，0）．
④△AOC∽△AQP，
=
，即
=
∴
=
，
解得，x=0（舍去）或x=
，P点坐标为（
，
）．
（3）如图（1），若对称点M在y轴，则∠PAQ=45°，
设AP解析式为y=kx+b，则k=1或-1，
当k=1时，把A（0，4）代入得y=x+4，
当k=-1时，把A（0，4）代入得y=-x+4，
此时P在对称轴右侧，符合题意，
∴y=x+4，或y=-x+4，
设点Q（x，4），P（x，-x2+3x+4），则PQ=x2-3x=PM，
∵△AEM∽△MFP．
则有
=
，
∵ME=OA=4，AM=AQ=x，PM=PQ=x2-3x，
∴
=
，
解得：PF=4x-12，
∴OM=（4x-12）-x=3x-12，
Rt△AOM中，由勾股定理得OM2+OA2=AM2，
∴（3x-12）2+42=x2，解得x1=4，x2=5，均在抛物线对称轴的右侧，
故点P的坐标为（4，0）或（5，-6）．
设一次函数解析式为y=kx+b，
把（0，4）（4，0）分别代入解析式得
，
解得
，
函数解析式为y=-x+4．
把（0，4）（5，-6）分别代入解析式得
，
解得
，
函数解析式为y=-2x+4．
综上所述，函数解析式为y=x+4，y=-x+4，y=-2x+4．
|
解得
|
（2）P在l下方时，令①△AOC∽△AQP，
| AO |
| AQ |
| CO |
| PQ |
即
| 4 |
| x |
| 1 |
| 4-y |
由于y=-x2+3x+4，
则有
| 4 |
| x |
| 1 |
| 4-(-x2+3x+4) |
解得x=0（舍去）或x=
| 13 |
| 4 |
| 51 |
| 16 |
| 13 |
| 4 |
| 51 |
| 16 |
②△AOC∽△PQA，
| AQ |
| CO |
| PQ |
| AO |
即
| x |
| 1 |
| 4-y |
| 4 |
由于y=-x2+3x+4，
则有
| x |
| 1 |
| 4-(-x2+3x+4) |
| 4 |
解得，x=0（舍去）或x=7，P点坐标为（7，-24）．
③P在l上方时，令△AOC∽△PQA，
| AQ |
| CO |
| PQ |
| AO |
即
| x |
| 1 |
| y-4 |
| 4 |
∵y=-x2+3x+4，
∴
| x |
| 1 |
| -x2+3x+4-4 |
| 4 |
解得，x=0（舍去）或x=-1，P点坐标为（-1，0）．
④△AOC∽△AQP，
| AO |
| AQ |
| CO |
| PQ |
| 4 |
| x |
| 1 |
| y-4 |
∴
| 4 |
| x |
| 1 |
| -x2+3x+4-4 |
解得，x=0（舍去）或x=
| 11 |
| 4 |
| 11 |
| 4 |
| 75 |
| 16 |
（3）如图（1），若对称点M在y轴，则∠PAQ=45°，
设AP解析式为y=kx+b，则k=1或-1，
当k=1时，把A（0，4）代入得y=x+4，
当k=-1时，把A（0，4）代入得y=-x+4，
此时P在对称轴右侧，符合题意，
∴y=x+4，或y=-x+4，
设点Q（x，4），P（x，-x2+3x+4），则PQ=x2-3x=PM，
∵△AEM∽△MFP．
则有
| AM |
| ME |
| MP |
| PF |
∵ME=OA=4，AM=AQ=x，PM=PQ=x2-3x，
∴
| x |
| 4 |
| x2-3x |
| PF |
解得：PF=4x-12，
∴OM=（4x-12）-x=3x-12，
Rt△AOM中，由勾股定理得OM2+OA2=AM2，
∴（3x-12）2+42=x2，解得x1=4，x2=5，均在抛物线对称轴的右侧，
故点P的坐标为（4，0）或（5，-6）．
设一次函数解析式为y=kx+b，
把（0，4）（4，0）分别代入解析式得
|
解得
|
函数解析式为y=-x+4．
把（0，4）（5，-6）分别代入解析式得
|
解得
|
函数解析式为y=-2x+4．
综上所述，函数解析式为y=x+4，y=-x+4，y=-2x+4．
点评：本题考查了二次函数解析式的求法、二次函数解析式、相似三角形的性质、翻折变换、待定系数法求一次函数解析式等，题目错综复杂，涉及知识面广，旨在考查逻辑思维能力．
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