题目内容

直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=6，AB=8．P是AC上的一个动点，当P在AC上运动时，设PC=x，△ABP的面积为y．
（1）求y与x之间的关系式．
（2）点P在什么位置时，△ABP的面积等于△ABC的面积的 $数学公式$ ．

解：（1）如图，作PD⊥AB，
∴△ADP∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得，PD= $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABP= $\text{[math]}$ AB×PD= $\text{[math]}$ ×8× $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ x+24，
∴y与x之间的关系式为：y=- $\text{[math]}$ x+24；

（2）由题意，S_△ABC= $\text{[math]}$ ×6×8=24，
∵△ABP的面积等于△ABC的面积的 $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABP= $\text{[math]}$ S_△ABC= $\text{[math]}$ ×24=8，
即- $\text{[math]}$ x+24=8，
解得，x= $\text{[math]}$ ，
∴点P在距点C $\text{[math]}$ 处．
分析：（1）如图，作PD⊥AB，可得△ADP∽△ABC，根据相似三角形的性质，可用x表示出PD的长，根据S_△ABP= $\text{[math]}$ AB×PD，
代入数值，即可求出y与x之间的关系式．
（2）根据题意，△ABP的面积等于△ABC的面积的 $\text{[math]}$ ，则S_△ABP= $\text{[math]}$ AB×PD= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×6×8，即可得出x的值，可确定点P的位置；
点评：本题主要考查了三角形的面积求法和函数关系式，知道三角形的面积计算公式，体会一次函数与二元一次方程的异同点．