Question

如图，抛物线y=-

1

2

x2+bx+3与y轴相交于点E，抛物线对称轴x=2交抛物线于点M，交x轴于点F，点A在x轴上，A（

1

2

，0），B（2，m）是射线FN上一动点，连结AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D．
（1）求b的值；
（2）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）当以O、E、D、C为顶点的四边形是平行四边形时，求点B的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题,解一元二次方程-公式法,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：综合题

分析：（1）只需运用抛物线的对称轴方程就可求出b的值；
（2）过点C作CH⊥x轴于H，易证△AFB≌△CHA，则有AF=CH，BF=AH，然后由A、B两点的坐标就可求出点C的坐标；
（3）由于DC∥OE，因此DC与OE是对边，则DC=OE，根据x_D=x_C即可求出点D的纵坐标（用m表示），然后只需分点D在点C的上方和下方两种讨论，根据DC=OE=3建立关于m的方程，并解这个方程，就可解决问题．

解答：解：（1）由抛物线对称轴x=2得：
x=-

b

2×(- 1 2 )

=b=2，
即b的值为2；

（2）过点C作CH⊥x轴于H，如图所示．
∵线段AC是由线段AB绕点A逆时针旋转90°所得，
∴AC=AB，∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠BAF=90°．
∵BF⊥AF，AH⊥CH，
∴∠AHC=∠BFA=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠CAF=∠ABF．
在△AFB和△CHA中，

∠ABF=∠CAH ∠AFB=∠CHA AB=AC

，
∴△AFB≌△CHA（AAS），
∴AF=CH，BF=AH，
∵B（2，m），∴F（2，0）．
∵B（2，m）是射线FN上一动点，∴m≤0，
∴AH=BF=-m．
∵A（

1

2

，0），∴OA=

1

2

，
∴CH=AF=OF-OA=2-

1

2

=

3

2

，OH=OA+AH=

1

2

-m，
∴点C的坐标为（

1

2

-m，

3

2

）；

（3）当以O、E、D、C为顶点的四边形是平行四边形时，
∵抛物线y=-

1

2

x2+bx+3与y轴相交于点E，
∴E（0，3），OE=3．
∵CD∥y轴，即CD∥OE，
∴CD与OE是平行四边形的对边，
∴CD=OE=3．
∵CD∥y轴，
∴x_D=x_C=

1

2

-m，
∴y_D=-

1

2

（

1

2

-m）²+2（

1

2

-m）+3=-

1

2

m²-

3

2

m+

31

8

．
①当点D在点C上方时，
CD=y_D-y_C═-

1

2

m²-

3

2

m+

31

8

-

3

2

=3，
整理得：4m²+12m+5=0，
解得：m₁=-

1

2

，m₂=-

5

2

，
∴点B的坐标为（2，-

1

2

）或（2，-

5

2

）．
②当点D在点C下方时，
CD=y_C-y_D═

3

2

-（-

1

2

m²-

3

2

m+

31

8

）=3，
整理得：4m²+12m-43=0，
解得：m₃=

-3+2 13

2

，m₄=

-3-2 13

2

，
∵m＜0，∴m=

-3-2 13

2

，
∴点B的坐标为（2，

-3-2 13

2

）．
综上所述：符合条件的点B的坐标为（2，-

1

2

）或（2，-

5

2

）或（2，

-3-2 13

2

）．

点评：本题主要考查了抛物线的性质、旋转的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，有一定综合性，构造全等三角形是解决第（2）小题的关键，分类讨论并利用CD=3建立等量关系是解决第（3）小题的关键．