Question

如图，抛物线y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°．

（1）请直接写出A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；

（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．

Answer 1

解：（1）抛物线的解析式为：y=ax2﹣8ax+12a（a＞0），

令y=0，即ax2﹣8ax+12a=0，

解得x1=2，x2=6，

∴A（2，0），B（6，0）．

 

（2）抛物线的解析式为：y=ax2﹣8ax+12a（a＞0），

令x=0，得y=12a，∴C（0，12a），OC=12a．

在Rt△COD中，由勾股定理得：CD2=OC2+OD2=（12a）2+62=144a2+36；

在Rt△COD中，由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=（12a）2+22=144a2+4；

在Rt△COD中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2；

即：（144a2+36）+（144a2+4）=82，

解得：a=或a=﹣（舍去），

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x+．

 

（3）存在．

对称轴为直线：x=﹣=4．

由（2）知C（0，），则点C关于对称轴x=4的对称点为C′（8，），

连接AC′，与对称轴交于点P，则点P为所求．此时△PAC周长最小，最小值为AC+AC′．

设直线AC′的解析式为y=kx+b，则有：

，解得，

∴y=x﹣．

当x=4时，y=，∴P（4，）．

过点C′作C′E⊥x轴于点E，则C′E=，AE=6，

在Rt△AC′E中，由勾股定理得：AC′==4；

在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC==4．

∴AC+AC′=4+4．

∴存在满足条件的点P，点P坐标为（4，），△PAC周长的最小值为4+4．

 

（4）①当﹣6≤t≤0时，如答图4﹣1所示．

∵直线m平行于y轴，

∴，即，解得：GH=（6+t）

∴S=S△DGH=DH•GH=（6+t）•（6+t）=t2+2t+6；

②当0＜t≤2时，如答图4﹣2所示．

∵直线m平行于y轴，

∴，即，解得：GH=﹣t+2．

∴S=S△COD+S梯形OCGH=OD•OC+（GH+OC）•OH

=×6×2+（﹣t+2+2）•t

=﹣t2+2t+6．

∴S=．