Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0<t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.

(1)求证：AE＝DF；

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请直接写出结果；

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）能，当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形；（3）当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形．

【解析】

（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明.

（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值.

（3）△DEF为直角三角形①当∠DEF＝90°时，由(2)知四边形AEFD为平行四边形，易求AD＝AE＝t，又AD＝60－4t，即60－4t＝t，即可解得此时t＝12；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，易求AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得此时t＝；③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．

(1)证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t

∴DF＝2t

又∵AE＝2t

∴AE＝DF.

(2)能．理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC

∴AE∥DF

又∵AE＝DF

∴四边形AEFD为平行四边形．

当四边形AEFD为菱形时，AE＝AD＝AC－DC

即60－4t＝2t，

解得t＝10.

∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形．

(3)①当∠DEF＝90°时，由(2)知四边形AEFD为平行四边形，

∴EF∥AD

∴∠ADE＝∠DEF＝90°

∵∠A＝60°

∴∠AED＝30°

∴AD＝AE＝t.

又AD＝60－4t，即60－4t＝t，解得t＝12；

②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中，∠A＝60°

则∠ADE＝30°

∴AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得t＝；

③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．

故当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形．