Question

【题目】（教材回顾）

七上教材有这样一段文字：人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，我们经常用这样的方法探究规律．

（数学问题）

四边形有4个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以这（n+4）个点为顶点画三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形？

（问题探究）

为了解决这个问题，我们可以从n=1，n=2，n=3等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律．

（问题解决）

（1）当四边形内有4个点时，最多剪得的三角形个数为______________；

（2）你发现的变化规律是：四边形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加______个；

（3）猜想：当四边形内点的个数为n时，最多可以剪得_______________个三角形；像这样通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．

（问题拓展）

请你尝试用归纳的方法探索4+6+8+10+…+2n+（2n+2）的和是多少？

Answer 1

【答案】（1）10；（2）2；（3）2n+2；问题拓展：n2+3n.

【解析】

（1）根据【问题探究】提供的数据，进而得出答案；

（2）利用探究数据得出三角形个数的变化规律即可；

（3）因为6-4=8-6=2，所以四边形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加2个；∵四边形内点的个数为1时，最多剪出的小三角形个数4=2×1+2，因为四边形内点的个数为2时，最多剪出的小三角形个数6=2×2+2，四边形内点的个数为3时，最多剪出的小三角形个数8=2×3+2，所以四形内点的个数为n时，最多剪出的小三角形个数2n+2；

[问题拓展]列表归纳即可得到结论．

（1）∵当四边形内点的个数为1时，最多可以剪得4个三角形；

当四形内点的个数为2时，最多可以剪得6个三角形；

当四边形内点的个数为3时，最多可以剪得8个三角形；

当四边形内点的个数为4时，最多可以剪得10个三角形；

（2）利用（1）中变化规律得出：因为6-4=8-6=2，所以四边形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加2个；

（3）∵四边形内点的个数为1时，最多剪出的小三角形个数4=2×1+2，因为四边形内点的个数为2时，最多剪出的小三角形个数6=2×2+2，四边形内点的个数为3时，最多剪出的小三角形个数8=2×3+2，所以四形内点的个数为n时，最多剪出的小三角形个数2n+2；

[问题拓展]

列表归纳

加数的个数	和
4+6	22+2×3
4+6+8	32+3×3
4+6+8+10	42+4×3
…	…
4+6+8+10+…+（2n+2）	n2+3n

∴4+6+8+10+…+2n+（2n+2）= n2+3n