Question

17．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是正方形，则AG的长是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 连接EF交AC于点O，则可求得AO的长，利用△AOE∽△ABC可求得OE长，则可求得AG长．

解答 解：
连接EF交AC于点O，
∵四边形EGFH是正方形，四边形ABCD为矩形，
∴OG=OH=OE，OA=OC，且EF⊥AC，
∵AB=8，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴OA=2$\sqrt{5}$，
∵∠AOE=∠ABC，∠OAE=∠BAC，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OE}{BC}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{8}$=$\frac{OE}{4}$，解得OE=$\sqrt{5}$，
∴OG=OE=$\sqrt{5}$，
∴AG=AO-OG=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查正方形和矩形的性质，利用相似三角形的性质求得OE是解题的关键．