Question

如图，直角坐标系中点B的坐标为（，0），点A在第一象限内，且∠AOB=60°，∠ABO=45°.

（1）求点A的坐标及线段OA的长；

（2）质点P从O出发，以每秒2个单位长的速度沿OA运动到A，若△POB的面积记为S，试写出S与时间t的函数关系式；

（3）根据（2），当t取何值时，△POB的外心在x轴上？

 

Answer 1

（1）过A点作AC⊥OB，C为垂足      ∵AC⊥OB，∠AOB=60°，∠ABO=45°

∴∠OAC=30°，∠BAC=45°     ∴∠ABO=∠BAC，AO=2DC    ∴AC=BC

设AC=BC=m    ∴OC=     ∴AO=

∴   ∴  

∴OC= OA=

∴A点坐标为（，0）   OA=8

（2）过P作PD⊥OB，D为垂足

∵OP=2t    ∴OD= t     

∴PD=

∴S=   

∴S=t    （0≤t≤）

（3）△POB的外心在x轴，即在OB上，设圆心为Q

∴QO=QP=QB     ∴△POB为Rt△     Q是OB的中点

∴BP⊥OA        ∵∠AOB=60°    ∴∠OBP=30°  

∴OP=

∴       ∴

∴当秒时，△POB的外心在x轴上.