Question

如图，直角坐标系中点B的坐标为（，0），点A在第一象限内，且∠AOB=60°，∠ABO=45°。

（1）求点A的坐标及线段OA的长；
（2）质点P从O出发，以每秒2个单位长的速度沿OA运动到A，若△POB的面积记为S，试写出S与时间t的函数关系式；
（3）根据（2），当t取何值时，△POB的外心在x轴上？

Answer 1

解：（1）过A点作AC⊥OB，C为垂足
∵AC⊥OB，∠AOB=60°，∠ABO=45°
∴∠OAC=30°，∠BAC=45°
∴∠ABO=∠BAC，AO=2DC
∴AC=BC
设AC=BC=m
∴OC=
∴AO=
∴
∴
∴OC=，OA=
∴A点坐标为（，0）
OA=8；
（2）过P作PD⊥OB，D为垂足
∵OP=2t
∴OD= t
∴
∴S=
∴S=t（（0≤t≤）；
（3）△POB的外心在x轴，即在OB上，设圆心为Q
∴QO=QP=QB
∴△POB为Rt△ Q是OB的中点
∴BP⊥OA
∵∠AOB=60°
∴∠OBP=30°
∴OP=
∴
∴
∴当秒时，△POB的外心在x轴上。