Question

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为（-8，0），B点坐标为（2，0），以AB为直径的圆P与y轴的负半轴交于点C．
（1）求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与⊙P的关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AC、BC，由于AB是⊙P的直径，则∠ACB=90°，在Rt△ABC中，OC⊥AB，易知OA、OB的长，利用射影定理即可求得OC的长，从而求得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）用配方法将（1）题所得抛物线化为顶点坐标式，即可得到点M的坐标，也就能求出PM、MC的长，然后再判断△PMC的形状即可．

解答：解：（1）连接AC、BC；
∵AB是⊙P的直径，
∴∠ACB=90°；
在Rt△ABC中，OA=8，OB=2，且OC⊥AB；
则OC²=OA•OB=16，得OC=4；
故C（0，-4），
设抛物线的解析式为：y=a（x+8）（x-2），
代入C点坐标得：
a（0+8）（0-2）=-4，a=

1

4

，
故抛物线的解析式为：y=

1

4

（x+8）（x-2）=

1

4

x²+

3

2

x-4；

（2）由（1）知：y=

1

4

x²+

3

2

x-4=

1

4

（x+3）²-

25

4

；
则M（-3，-

25

4

），
又∵C（0，-4），P（-3，0），
∴MP=

25

4

，PC=5，MC=

15

4

，
∴MP²=MC²+PC²，即△MPC是直角三角形，且∠PCM=90°，
故直线MC与⊙P相切．

点评：此题主要考查了圆周角定理、二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、直线与圆的位置关系等知识，难度适中．