如图.在矩形OABC中.点A．沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC.使点B落在OA边上的点E处．分别以OC.OA所在的直线为x轴.y轴建立平面直角坐标系.抛物线y=ax2+bx+c经过O.D.C三点．(1)求D的坐标及抛物线的解析式,(2)一动点P从点E出发.沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动.同时动点Q从点C出发.沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动.当� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在矩形OABC中，点A（0，10），C（8，0）．沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax²+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求D的坐标及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的长，进而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值．
（3）由于以M，N，C，E为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论：
①EC做平行四边形的对角线，那么EC、MN必互相平分，由于EC的中点正好在抛物线对称轴上，所以M点一定是抛物线的顶点；
②EC做平行四边形的边，那么EC、MN平行且相等，首先设出点N的坐标，然后结合E、C的横、纵坐标差表示出M点坐标，再将点M代入抛物线的解析式中，即可确定M、N的坐标．

解答：解：（1）∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．

由题意，△BDC≌△EDC．
∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD，
由勾股定理易得EO=6，
∴AE=10-6=4，
设AD=x，则BD=ED=8-x，由勾股定理，得x²+4²=（8-x）²，
解得，x=3，
∴AD=3，
∴D（3，10），
∵抛物线y=ax²+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）．
∴

9a+3b=10

64a+8b=0

，
解得：

a=-

，
∴抛物线的解析式为：y=-

x²+

x；
（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5，
而CQ=t，EP=2t，
∴PC=10-2t，
当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴

，即

10-2t

，
解得：t=

，
当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴

，即

10-2t

，
解得：t=

，
∴当t=

或

时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似；
（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：

①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点，
则：M（4，

），
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴线段MN必被EC中点（4，3）平分，
则N（4，-

）；
②EC为平行四边形的边，则EC∥MN，EC=MN，
设N（4，m），则M（4-8，m+6）或M（4+8，m-6）；
将M（-4，m+6）代入抛物线的解析式中，
解得：m=-38，
此时 N（4，-38）、M（-4，-32）；
将M（12，m-6）代入抛物线的解析式中，
解得：m=-26，
此时 N（4，-26）、M（12，-32）；
综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：
①M₁（-4，-32），N₁（4，-38）
②M₂（12，-32），N₂（4，-26）
③M₃（4，

），N₃（4，-

）．

点评：考查了二次函数综合题，题目涉及了待定系数法求函数解析式、图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识，涉及考点众多，综合性较强，特别是后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解．