Question

已知△ABC中，∠BAC≠90°，AD⊥BC，BE⊥AC，且AD、BE交于点H，连接CH，则∠ACH+∠BAE=

 

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Answer 1

考点：四点共圆

专题：

分析：根据题意可知，点A、B、D、E共圆，点H是△ABC的垂心．过点A作⊙O的切线AF交BC的延长线BC于点F．根据切线的性质可知△ABF是直角三角形、由平行线的判定与性质可知∠HCA=∠CAF；最后由图形可知∠BAF=∠FAC+∠CAB=90°，即∠BAC+∠HCA=90°．

解答：解：∵△ABC中，∠BAC≠90°，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴点A、B、D、E在以AB为直径的⊙O上；
过点A作⊙O的切线AF交BC的延长线BC于点F，则AF⊥AB．
∵点H是三角形ABC的垂心，
∴CH⊥AB，
∴CH∥AF，
∴∠HCA=∠CAF（两直线平行，内错角相等）；
又∵∠BAF=∠FAC+∠CAB=90°，
∴∠BAC+∠HCA=90°．
故答案是：90°．

点评：本题考查了四点共圆的知识点．解答此题时，注意挖掘出隐含在题干中的已知条件点A、D、E、A共圆，点H是△ABC的垂心．