Question

已知如图，CD是⊙O的弦，OA垂直CD交⊙O于A，交CD于F，G为⊙O上一点，过G做⊙O的切线，交CD延长线于E．连AG交CD于K
（1）求证：KE=GE；
（2）若AC∥EG，

DK

CK

=

3

5

，AK=2

10

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先连接OG，由A为

DC

的中点，EG切⊙O于G，可得OA⊥CD，OG⊥FG，即可证得∠EKG=∠EGK，继而可得KE=GE；
（2）首先连接OC，易得AC=KC，设DK=3x，CK=5x，则AC=5x，CD=DK+CK=8x，可得CF=DF=4x，FK=DF-DK=x，即可得AF=3x，然后由在Rt△AKF中，AF²+FK²=AK²，得到方程（3x）²+x²=（2

10

）²，即可求得x的值，再设⊙O的半径为y，由在Rt△OCF中，OC²=OF²+CF²，可得方程y²=64+（y-6）²，继而求得答案．

解答：（1）证明：连接OG，
∵OA垂直CD交⊙O于A，
∴A为

AC

的中点，EG切⊙O于G，
∴OA⊥CD，OG⊥FG，
∴∠A+∠AKC=90°，∠AGO+∠EGK=90°，
∵OA=OC，∠AKC=∠EKG，
∴∠A=∠AGO，∠A+∠EKG=90°，
∴∠EKG=∠EGK，
∴KE=GE；

（2）解：连接OC，
∵AC∥EG，
∴∠CAK=∠EGK，
∵∠AKC=∠EKG，∠EKG=∠EGK，
∴∠CAK=∠CKA，
∴AC=KC，
∵

DK

CK

=

3

5

，
设DK=3x，CK=5x，则AC=5x，CD=DK+CK=8x，
∴CF=DF=4x，FK=DF-DK=x，
在Rt△ACF中，AF

AC2-CF2

=3x，
在Rt△AKF中，AF²+FK²=AK²，
∴（3x）²+x²=（2

10

）²，
解得：x=2，
∴AF=3x=6，CF=4x=8，
设⊙O的半径为y，
则OF=y-6，
在Rt△OCF中，OC²=OF²+CF²，
∴y²=64+（y-6）²，
解得：y=

25

3

，
∴⊙O的半径为：

25

3

．

点评：此题考查了切线的性质、垂径定理、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．