Question

我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图所示的列表，此表揭示了（a+b）ⁿ（n为非负整数）展开式的各项系数的规律．例如：
（a+b）⁰=1
（a+b）¹=a+b
（a+b）²=a²+2ab+b²
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³
（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴…
①根据以上规律，写出（a+b）⁵展开式：（a+b）⁵=

 

；
②用你所学的知识验证：（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³；
③在杨辉三角形中，假设最上面的数字1作为第1行，将每一行的数字相加，则得数字串：

 

，请你根据这串数字的规律，写出第m行的数字和：

 

，此外，此表还蕴含很多数字规律，请你找一找，根据规律写出并推导二项式（a+b）ⁿ（n＞3）的展开式中含a^n-2b²项的系数．

Answer 1

考点：整式的混合运算

专题：规律型

分析：①经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1．根据上面观察的规律很容易解答问题；
②根据（a+b）³=（a+b）²•（a+b）利用完全平方公式和多项式的乘法公式即可求解；
③每一行的数字的和分别是：1，2，4，8，16…；则第m行的数字和是2 ^m-1；
a^n-2b²项的系数是：1+2+3+…+（n-1），求解即可．

解答：解：①（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；
②（a+b）³=（a+b）²•（a+b）
=（a²+2ab+b²）（a+b）
=a³+a²b+2a²b+2ab²+ab²+b³
=a³+2a²b+3ab²+b³；
③将每一行的数字相加，则得数字串：1，2，4，8，16…则第m行的数字和是2 ^m-1；
a^n-2b²的系数是：1+2+3+…+（n-1）
=【（n-1）+1】•

n-1

2

=

1

2

n²-

1

2

n．
故答案是：1，2，4，8，16…；2 ^m-1

点评：本题考查了乘法公式，正确观察已知的式子与对应的三角形之间的关系是关键．