Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，且AB=8，DB=2．
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）求图中阴影部分的面积．（结果精确到0.1，参考数据π≈3.14，

3

≈1.73）

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形ABC，再根据两角对应相等即可证明三角形相似；
（2）结合图形，知阴影部分的面积即为半圆的面积减去直角三角形ABC的面积．根据相似三角形的性质即可求得BC的长，再根据勾股定理求得AC的长，从而求解．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又CD⊥AB，
∴∠CDB=90°．
在△ABC与△CBD中，
∠ACB=∠CDB=90°，∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD．

（2）解：∵△ABC∽△CBD，
∴

CB

DB

=

AB

CB

．
∴CB²=DB•AB．
∵AB=8，DB=2，
∴CB=4．
在Rt△ABC中，AC=

AB2-BC2

=

64-16

=4

3

，
∴S△ABC=

1

2

CB×AC=

1

2

×4×4

3

=8

3

．
∴S_阴影部分=

1

2

π×42-S△ABC=8(π-

3

)=11.28≈11.3．

点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及直角三角形和半圆的面积公式．