Question

已知：双曲线C1：y1=

t

x

（t为常数，t≠0）经过点M（一2，2）；它关于y轴对称的双曲线为C₂，直线l₁：y=kx+b（k、b为常数，k≠0）与双曲线C₂的交点分别为A（1，m），B（n，-1）．
（1）求双曲线C₂的解析式；
（2）求A、B两点的坐标及直线l₁的解析式；
（3）若将直线l₁平移后得到的直线l₂与双曲线C₂的交点分别记为C、D（A和D，B和C分别在双曲线C₂的同一支上），四边形ABCD恰好为矩形，请直接写出直线CD的解析式．

Answer 1

分析：（1）将点M（-2，2）关于y轴对称点M′（2，2），代入双曲线解析式y=

k

x

中，求k，确定双曲线C₂的解析式；
（2）将A（1，m），B（n，-1）两点在双曲线C₂：y=

4

x

中，可求m、n的值，再将A、B两点坐标代入直线l₁：y=kx+b中，可求直线l₁的解析式；
（3）直线l₁与y轴交于（0，3），根据双曲线的轴对称性可知，平移后的直线与y轴交于点（0，-3），而一次项系数不变，由此写出直线CD的解析式．

解答：解：（1）如图，∵点M（-2，2）关于y轴对称点为M′（2，2），
∴双曲线C₂的解析式为y=

4

x

；

（2）∵A（1，m），B（n，-1）两点在双曲线C₂上，
∴m=4，n=-4，
∴A、B两点坐标分别为A（1，4），B（-4，-1），
∵A（1，4），B（-4，-1）两点在直线l₁：y=kx+b上，
∴

k+b=4 -4k+b=-1

，
解得

k=1 b=3

，
∴直线l₁的解析式为y=x+3；

（3）直线CD的解析式为y=x-3．

点评：本题考查了反比例函数的综合运用．注意通过解方程组求出交点坐标．同时要注意运用数形结合的思想．