Question

直线y=-

3

3

x+

3

分别与x轴、y轴交于A、B两点，⊙E经过原点O及A、B两点，C是⊙E上一点，连接BC交OA于点D，∠COD=∠CBO．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）求经过O、C、A三点的抛物线解析式；
（3）试判断四边形BOCA的形状并证明；
（4）直线AB上是否存在点P，使得△COP的周长最小？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直线y=-

3

3

x+

3

分别与x轴、y轴交于A、B两点，即可求得点A与点B的坐标，然后连接EC，交x轴于点H，由∠COD=∠CBO，根据垂径定理的即可求得OH与AH的长，由勾股定理，可求得AB的长，EH的长，继而求得点C的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得经过O、C、A三点的抛物线解析式；
（3）由特殊角的三角函数值，可求得∠OAB与∠COD的度数，然后由圆周角定理，证得OB=AC，∠OCB=∠ABC=30°，即可证得OC∥AB，则可得四边形BOCA的形状是等腰梯形；
（4）由OC已知，可得当OP+CP最小时，△COP的周长最小；过点O作OF⊥AB于点F，并延长交⊙O于点K，连接CK交直线AB于点P，此点即为所求；易证得CK是直径，则可得点P与点E重合，继而求得P点坐标．

解答：（1）解：∵直线y=-

3

3

x+

3

分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴当x=0时，y=

3

，当y=0时，x=3，
∴点A（3，0），点B（0，

3

），
∴AB=

OA2+OB2

=2

3

，
∴AE=BE=

1

2

AB=

3

，
连接EC，交x轴于点H，
∵∠COD=∠CBO，
∴

OC

=

AC

，
∴EC⊥OA，OC=AC，
∴OH=AH=

1

2

OA=

3

2

，
在Rt△AEH中，EH=

AE2-AH2

=

3

2

，
∴CH=EC-EH=

3

2

，
∴点C的坐标为：（

3

2

，-

3

2

）；

（2）解：设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为y=ax（x-3）．
∵点C的坐标为：（

3

2

，-

3

2

）；
∴-

3

2

=a×

3

2

×（

3

2

-3），
解得：a=

2 3

9

，
∴经过O、C、A三点的抛物线的解析式为：y=

2 3

9

x²-

2 3

3

x；

（3）四边形BOCA的形状是等腰梯形．
证明：在Rt△AOB中，tan∠OAB=

OB

OA

=

3

3

，
∴∠OAB=30°，
在Rt△OCH中，tan∠COH中，tan∠COD=

CH

OH

=

3

3

，
∴∠COD=30°，
∴∠OAB=∠COD，
∴

OB

=

AC

，
∴OC=AC=2CH=

3

，
∴OC=AC=

3

≠AB，
∵∠ABC=∠COD=30°，∠OCB=∠OAB=30°，
∴∠ABC=∠OCB，
∴OC∥AB，
∴四边形BOCA的形状是等腰梯形．

（4）解：存在．
∵OC=

3

，
∴当OP+CP最小时，△COP的周长最小，
过点O作OF⊥AB于点F，并延长交⊙O于点K，连接CK交直线AB于点P，此点即为所求；
∵∠OAB=30°，
∴∠AOF=60°，
∵∠COD=30°，
∴∠COK=90°，
∴CK是直径，
∵点P在直线AB上，
∴点P于点E重合；
∵点E的横坐标为：

3

2

，
∴y=-

3

3

×

3

2

+

3

=

3

2

，
∴点P的坐标为：（

3

2

，

3

2

）．

点评：此题考查了一次函数的性质、待定系数法求二次函数的解析式、垂径定理、圆周角定理以及等腰梯形的判定等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．