Question

已知二次函数y＝a(x－m)²－a(x－m)(a，m为常数，且a≠0)．

(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

(2)设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D.

①当△ABC的面积等于1时，求a的值；

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

Answer 1

 (1)证明：y＝a(x－m)²－a(x－m)＝ax²－(2am＋a)x＋am²＋am.

当a≠0时，Δ＝a²>0.

则方程ax²－(2am＋a)x＋am²＋am＝0有两个不相等的实数根．

所以，不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．

(2)解：① y＝a－，

所以点C的坐标为.

当y＝0时，a(x－m)²－a(x－m)＝0.

解得x₁＝m，x₂＝m＋1.所以AB＝1.

当△ABC的面积等于1时，×1×＝1.

所以×1×＝1，或×1×＝1.

所以a＝－8，或a＝8.

②当x＝0时，y＝am²＋am，

所以点D的坐标为(0, am²＋am)．

当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，

×1×＝×1×| am²＋am |.

所以m＝－，或m＝，或m＝.