Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于、两点，抛物线过、两点，点为线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点．

求抛物线的解析式．

求面积的最大值．

连接，是否存在点，使得和相似？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）存在点，使得和相似，点的坐标为或．

【解析】

（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则点E坐标为（m，-m2-3m+4），从而得出OC=-m、OF=-m2-3m+4、BF=-m2-3m，根据S△ABE=S梯形AOFE-S△AOB-S△BEF得出S=-2（m+2）2+8，据此可得答案；

（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．

在直线解析式中，令，得；令，得，

∴，．

∵点，在抛物线上，

∴，

解得：，，

∴抛物线的解析式为：．

如图，连接、过点作轴于点，

设点坐标为，则点坐标为，

则，，

∵，

∴，

则

．

，

∵，

∴当时，取得最大值，最大值为．

即面积的最大值为．设点坐标为，则，，，

则．

∵为等腰直角三角形，和相似

∴必为等腰直角三角形．

若，则，

∵，

∴，

∴，

∴．

∵点在抛物线上，

∴，解得（不合题意，舍去）或，

∴；

若，则，

在等腰直角三角形中，，

∴，

∴．

∵点在抛物线上，

∴，解得（不合题意，舍去）或，

∴．

综上所述，存在点，使得和相似，点的坐标为或．