Question

已知△ABC中，BC=a，AB=c，∠B=30°，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

解：（1）若△ABC每个角小于120°时，只需将△BPC绕点B按逆时针旋转60°得到△BP′C′，易知此时有BP=PP′，PC=P′C′，

从而PA+PB+PC=AP+PP′+P′C′≥AC′=，
当A、P′、P、C′四点共线时取等号，最小值为；

（2）若有一个角大于120°时，此时以该点为中心，以180°减去该角大小为旋转角进行旋转，
①∠A≥120°时，当P点与A重合时，PA+PB+PC最小，最小值为a+；
②∠C≥120°时，当P点与C重合时，PA+PB+PC最小，最小值为a+．
故答案为：或a+．
分析：由费马点定理分△ABC每个角小于120°和一个角大于120°两种情况作答，（1）若△ABC每个角小于120°时，将△BPC绕点B按逆时针旋转60°得到△BP′C′由旋转的性质及两点之间线段最短即可得出结论；
（2）若有一个角大于120°时，此时以该点为中心，以180°减去该角大小为旋转角进行旋转，再由余弦定理及两点之间线段最短的知识即可得出结论．
点评：本题考查的是两点之间线段最短及费马点定理，熟知费马点定理是解答此题的关键．