题目内容

已知△ABC中,BC>AC,CH是AB边上的高,且满足
AC2
BC2
=
AH
BH
,试探讨∠A与∠B的关系,井加以证明.
分析:由题设条件易想到直角三角形中的基本图形、基本结论,可猜想出∠A与∠B的关系,解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质,推导判定两个三角形相似的条件.
解答:解:(1)若垂线H在线段AB上,如图,
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由AH2+CH2=AC2,BH2+CH2=BC2,得,
BH2-AH2=BC2-AC2
即(BH+AH)(BH-AH)=BC2-AC2
AB=
BC2-AC2 
BH-AH
,由
AC2
BC2
=
AH
BH
,得
BC2-AC2
BC2
=
BH-AH
BH

BC2-AC2
BH-AH
=
BC2
BH
,所以AB=
BC2
BH
AB
BC
=
BC
BH

又∠B是△ABC和△CBH的公共角,所以△ABC∽△CHB,
∠ACB=∠CHB=90°,∠A+∠B=90°.
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(2)若垂足H在BA的延长线,如图作边CA关于CH的对称线段CA
由(1)的结论知:∠A+∠B=90°,而∠A=180°-∠A,
代入上式得∠A-∠B=90°.
综上所述(1)(2),知∠A+∠B=90°或∠A-∠B=90°.
点评:本题考查相似三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理,勾股定理等.
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