Question

4．在数学活动课上，老师提出了一个问题，希望同学们进行探究．
在平面直角坐标系中，若一次函数y=kx+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象交于C、D两点，则AD和BC有怎样的数量关系？
同学们通过合作讨论，逐渐完成了对问题的探究．
小勇说：我们可以从特殊入手，取D进行研究（如图①），此时我发现AD=BC．
小攀说：在图①中，分别从点C、D两点向两条坐标轴作垂线，根据所学知识可以知道有两个图形的面积是相等的，并能求出确定的值，而且在图②中，此时S_矩形FCHO=S_矩形GDIO，这一结论仍然成立，即四边形OHCF的面积=四边形OIDG的面积，此面积的值为6．
小高说：我还发现，在图①或图②中连接某两个已知点，得到的线段与AD和BC都相等，这条线段是GH．

（1）请完成以上填空；
（2）请结合以上三位同学的讨论，对图②所示的情况下，证明AD=BC；
小峰突然提出一个问题：通过刚才的证明，我们可以知道当直线与双曲线的两个交点都在第一象限时，AD=BC总是成立的，但我发现当k的取值不同时，这两个交点有可能在不同象限，结论还成立吗？
（3）请你结合小峰提出的问题，在图③中画出示意图，并判断结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题目的叙述即可直接解答；
（2）连接GH，GC，DH，证明S_△CGH=S_△GHD．则CD∥GH，然后根据平行四边形的性质求解；
（3）与（2）解法相同，证明S_△CGH=S_△GHD．则点C，D到GH的距离相等，然后利用平行四边形的性质证得．

解答 解：（1）S_矩形FCHO=S_矩形GDIO，这一结论仍然成立，即的四边形OHCF面积=四边形OIDG的面积，此面积的值为6．
在图①或图②中连接某两个已知点，得到的线段与AD和BC都相等，这条线段是GH．
故答案是：四边形OHCF，四边形OIDG，6，GH；

（2）成立，证明如下：
如图①，连接GH，GC，DH，
∵点C，D是反比例图象上的点，
∴S_矩形FCHO=S_矩形GDIO．
∴$\frac{1}{2}{S_{矩形FCHO}}=\frac{1}{2}{S_{矩形GDIO}}$．
∴S_△CGH=S_△GHD．
∴点C，D到GH的距离相等．
∴CD∥GH． 
∴四边形BCHG和四边形GHAD都是平行四边形．
∴BC=GH，GH=DA．  
即AD=BC；

（3）画出图形，得到GH，
∵点C，D是反比例图象上的点，
∴S_矩形FCHO=S_矩形GDIO．
∴$\frac{1}{2}{S_{矩形FCHO}}=\frac{1}{2}{S_{矩形GDIO}}$．
∴S_△CGH=S_△GHD．
∴点C，D到GH的距离相等．
∴CD∥GH．  
∴四边形BCHG和四边形GHAD都是平行四边形．
∴BC=GH，GH=DA．
即AD=BC．

点评 本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数比例系数k的几何意义，注意题目之间的联系是解决本题的关键．