Question

17．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B（0.6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP（如图①），经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ（如图②）．当点C′恰好落在边OA上时，点P的坐标是（$\frac{11-\sqrt{13}}{3}$，6），（$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$，6）．

Answer 1

分析 设BP=t，AQ=m，首先过点P作PE⊥OA于E，易证△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的长，然后利用相似三角形的对应边成比例得到m=$\frac{1}{6}{t}^{2}-\frac{11}{6}t+6$，即可求得t的值，求出点P的坐标．

解答 解：过点P作PE⊥OA于E，
∴∠PEA=∠QAC′=90°，
∴∠PC′E+∠EPC′=90°，
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，
∴∠EPC′=∠QC′A，
∴△PC′E∽△C′QA，
∴$\frac{PE}{AC′}=\frac{PC′}{C′Q}$，
设BP=t，AQ=m，
∵PC′=PC=11-t，PE=OB=6，C′Q=CQ=6-m，
AC′=$\sqrt{C′{Q}^{2}-A{Q}^{2}}$=$\sqrt{36-12m}$，
∴$\frac{6}{\sqrt{36-12m}}=\frac{11-t}{6-m}$，
∵$\frac{11-t}{6-m}=\frac{6}{t}$，
∴m=$\frac{1}{6}{t}^{2}-\frac{11}{6}t+6$，
又36-12m=t²，
将m=$\frac{1}{6}{t}^{2}-\frac{11}{6}t+6$代入36-12m=t²，化简得：
3t²-22t+36=0，
解这个方程得：t₁=$\frac{11-\sqrt{13}}{3}$，t₂=$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$，
∴点P的坐标（$\frac{11-\sqrt{13}}{3}$，6），（$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$，6）．
故答案为：（$\frac{11-\sqrt{13}}{3}$，6），（$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$，6）．

点评 本题主要考查了图形的折叠问题，矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及运用数形结合思想列方程的综合运用，运用相似的性质列比例式得出方程求出BP是解决问题的关键．