Question

已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD=BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF=∠BNE（不需证明）；当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE的数量关系是

 

．

Answer 1

分析：取AC的中点H，连接HE、HF，当点D旋转到图2中的位置时，由F为DC的中点，E为AB的中点，根据三角形中位线的性质得到FH∥AD，且FH=

1

2

AD；HE∥BC，且HE=

1

2

BC，得到∠HFE=∠AMF，∠HEF=∠ENB，HE=HF，则∠HEF=∠HFE，所以∠AMF=∠BNE；当点D旋转到图3中的位置时，同理可证得∠AMF=∠BNE．

解答：解：取AC的中点H，连接HE、HF，如图，
当点D旋转到图2中的位置时，
∵F为DC的中点，E为AB的中点，
∴FH∥AD，且FH=

1

2

AD；HE∥BC，且HE=

1

2

BC，
∴∠HFE=∠AMF，∠HEF=∠ENB，HE=HF，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠AMF=∠BNE；
当点D旋转到图3中的位置时，
用同样的方法可证明∠HFE=∠AME，∠HEF=∠BNE，
而∠HFE=∠HEF，
∴∠AME=∠BNE，
而∠AMF+∠AME=180°，
∴∠AMF+∠BNE=180°．
故答案为：∠AMF=∠BNE或∠AMF+∠BNE=180°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行并且等于第三边的一半．