Question

2．如图，已知抛物线与直线y=x+2交于A（-2，0）和B两点，与y轴交于C（0，-2），它的对称轴是直线x=-$\frac{1}{2}$，直线y=x+2与y轴交于点E．
（1）求抛物线与x轴的另一交点D的坐标及该抛物线对应的函数关系式；
（2）①求点B的坐标；②求证：E是AB的中点；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PA=PB？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据对称性求出点D坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式．
（2）①列方程组即可解决；
②求出AE，EB即可判断．
（3）线段AB的垂直垂直平分线与抛物线的交点就是所求的点，求出线段AB的垂直平分线的解析式，然后解方程组即可．

解答 解：（1）∵点A（-2，0）是抛物线与x轴的交点，对称轴x=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线与x轴的另一个交点D为（1，0），
设抛物线为y=a（x+2）（x-1），把点C（0，-2）代入得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+2）（x-1）=x²+x-2．
（2）①由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+x-2}\\{y=x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
则点B坐标（2，4）．
②∵点E坐标（0，2），点B（2.4），点A（-2，0），
∴AE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，EB=$\sqrt{（0-2）^{2}+（2-4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AE=EB，
∴点E是AB中点．
（3）因为EA=EB，
所以过点E作线段AB的垂线与抛物线的交点就是所求的点P．
设过点E垂直AB的直线为y=-x+b，把点E（0，2）代入得到b=2，
∴过点E垂直AB的直线为y=-x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y={x}^{2}+x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{5}}\\{y=3-\sqrt{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\sqrt{5}}\\{y=3+\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
∴点P坐标（-1+$\sqrt{5}$，3-$\sqrt{5}$）或（-1-$\sqrt{5}$，3+$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查二次函数、一次函数的有关知识、线段垂直平分线的性质等知识，学会用待定系数法确定函数解析式，知道求两个函数图象的交点转化为解方程组，两条直线垂直k₁•k₂=-1，本题体现了数形结合的思想，属于中考常考题型．