Question

（1）已知x、y满足x²+y²+

5

4

=2x+y，求代数式

xy

x+y

的值．
（2）整数x，y满足不等式x²+y²+1≤2x+2y，求x+y的值．
（3）同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b，乙商场：两次提价的百分率都是

a+b

2

（a＞0，b＞o），丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则哪个商场提价最多？说明理由．

Answer 1

考点：完全平方公式,非负数的性质：偶次方

专题：计算题

分析：对于（1），（2）两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；
对于（3）把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小．

解答：解：（1）由已知得，（x-1）²+（y-

1

2

）²=0，
根据非负数的性质可得，x-1=0，y-

1

2

=0，
解得，x=1，y=

1

2

，
故

xy

x+y

=

1× 1 2

1+ 1 2

=

1

3

；
（2）原不等式可化为（x-1）²+（y-1）²≤1，且x、y为整数，
∵（x-1）²≥0，（y-1）²≥0，
∴可能有的结果是

x-1=0 y-1=0

或

x-1=±1 y-1=0

或

x-1=0 y-1=±1

，
解得

x=1 y=1

或

x=2 y=1

或

x=0 y=1

或

x=1 y=2

或

x=1 y=0

，
∴x+y=1或2或3．
（3）甲、乙、丙三个商场两次提价后，价格分别为（1+a）（1+b）=1+a+b+ab；
（1+

a+b

2

）•（1+

a+b

2

）=1+（a+b）+（

a+b

2

）²；
（1+b）（1+a）=1+a+b+ab；
∵（

a+b

2

）²-ab＞0，
∴（

a+b

2

）²＞ab，
∴乙商场两次提价后价格最高．

点评：本题考查的是完全平方公式及非负数的性质，此类问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．
完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论：
（1）a²±2ab+b²=（a±b）²≥0；揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题．
（2）a²+b²≥2ab，应用于代数式的最值问题．
代数等式的证明有以下两种基本方法：
（1）由繁到简，从一边推向另一边；（2）相向而行，寻找代换的等量．