Question

4．如图，△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB₁C₁，当点C₁、B₁、C三点共线时，旋转角为α，连接BB₁，交AC于点D．下列结论：①△AC₁C为等腰三角形；②△AB₁D∽△BCD；③α=75°；④CA=CB₁，其中正确的是（　　）

• A． ①③④
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB₁C₁，得到△ABC≌△AB₁C₁，根据全等三角形的性质得到AC₁=AC，于是得到△AC₁C为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C₁=∠ACC₁=30°，由三角形的内角和得到∠C₁AC=120°，得到∠B₁AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB₁B=30°=∠ACB，于是得到△AB₁D∽△BCD；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C₁AB₁=∠BAC=45°，推出∠B₁AC=∠AB₁C，于是得到CA=CB₁；故④正确．

解答 解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB₁C₁，
∴△ABC≌△AB₁C₁，
∴AC₁=AC，
∴△AC₁C为等腰三角形；故①正确；
∴AC₁=AC，
∴∠C₁=∠ACC₁=30°，
∴∠C₁AC=120°，
∴∠B₁AB=120°，
∵AB₁=AB，
∴∠AB₁B=30°=∠ACB，
∵∠ADB₁=∠BDC，
∴△AB₁D∽△BCD；故②正确；
∵旋转角为α，
∴α=120°，故③错误；
∵∠C₁AB₁=∠BAC=45°，
∴∠B₁AC=75°，
∵∠AB₁C₁=∠BAC=105°，
∴∠AB₁C=75°，
∴∠B₁AC=∠AB₁C，
∴CA=CB₁；故④正确．
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．