Question

【题目】已知：如图，AB为的直径，弦垂足为E，点H为弧AC上一点．连接DH交AB于点F，连接HA、BD，点G为DH上一点，连接AG，．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，连接HC，若，求证：；

（3）如图3，连接交于点K，若点F为DG的中点，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得，进而得到，即可证明；

（2）连接AC、AD、CF，根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得，进而得到，再根据已知，得到；

（3）在上截取，过点C作于点M，通过证明≌得到，进而得到，再根据F为DG中点，得到，通过勾股定理逆用，证明，再通过解得，解△CDH得，求得OF、OH，逆用勾股定理证明，易求，，最后求得的值．

（1）证明：如图，设为，

∵，

∴，

∵，

∴

∴，

∵与为同对弧所对的圆周角，

∴，

∴，

∴

∴

（2）如图，连接AC、AD、CF，

∵AB为直径，，

∴，

∴垂直平分，

∴，，

∴，，

∴，即，

设，，

∵与为同对弧AH所对的圆周角，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵AB为直径，

∴，

∴，

∵与为同对弧BH所对的圆周角，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）如图，在上截取，

∵与同对弧AH所对的圆周角，

∴，

∵AB为直径，且

∴=，

∴，

∴≌，

∴，

∵，

∴，

∴，

设，则，，

∵F为DG中点，

∴，

∴，FD=CF=3k，

在中，由勾股定理逆定理得，

过点C作于点M，

由△HCF面积，可求CM=，

∴，

∴，

解得，

易求，，

由勾股定理逆定理得，

易求，，

∴．