Question

9．问题探究：
抛物线y=-$\frac{1}{8}$x²+bx+2（b＞0）与x轴交于A、B两点，交y轴于C，直线y=kx与抛物线交于M、N两点（M在y轴右边，k＞0），点C（0，2），点AO=2CO
（1）求此抛物线的解析式
（2）若△AMN的面积为16$\sqrt{2}$时，求k的值
（3）己知直线l：y=t（t＞2），是否存在这样的t的值，无论k取何值，以MN为直径的圆总与直线l相切？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件可求得A点坐标，代入可求得b的值，可求得抛物线解析式；
（2）连接AM、AN，可设出M、N的坐标，利用三角形的面积和一元二次方程根与系数的关系可得大到关于k的方程，可求得k的值；
（3）同（2）设出M、N的坐标，分别表示出MO和NO的长，利用相切可得到t的方程，可求得t的值．

解答 解：
（1）∵y=-$\frac{1}{8}$x²+bx+2，
∴C（0，2），
∴AO=2OC=2×2=4，
∴A（-4，0），
代入抛物线解析式可得0=-2-4b+2，解得b=0，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{8}$x²+2；
（2）如图，连AM、AN，

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵M、N在直线y=kx上，
∴y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴S_△AMN=S_△AOM+S_△AON=$\frac{1}{2}$AO•|y₁|+$\frac{1}{2}$AO•|y₂|=$\frac{1}{2}$AO•（y₁-y₂）=2k（x₁-x₂），
联立直线与抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-\frac{1}{8}{x}^{2}+2}\end{array}\right.$，整理可得：x²+8kx-16=0，
∵M、N在抛物线上，
∴x₁，x₂是方程的两根，
∴x₁+x₂=-8k，x₁•x₂=-16
∴x₁-x₂=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=8$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴16k$\sqrt{{k}^{2}+1}$=16$\sqrt{2}$，解得k=1或k=-1（舍去），
∴k的值为1；
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则MO=$\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}$=$\sqrt{（-\frac{1}{8}{x}_{1}^{2}+2）^{2}+{x}_{1}^{2}}$=$\sqrt{（-\frac{1}{8}{x}_{1}^{2}-2）^{2}}$=$\frac{1}{8}$${x}_{1}^{2}$+2=4-y₁，
同理NO=4-y₂，
∴MN=8-（y₁+y₂），即r=4-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，
设圆心为G，则y_G=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，
∴G到l的离d=t-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，
要使直线l与⊙G相切，则d=r，
∴t=4，
即存在满足条件的t，其值为4．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、直线和圆相切的判定和性质及方程思想等知识点．在（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）中用M、N的坐标表示出△AMN的面积是解题的关键，在（3）中用M、N的坐标分别表示出圆心坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，故难度较大．