Question

已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．

（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．

Answer 1

       （1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠DAE=90°，

∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，

∴BD⊥CE；

（2）2AD²=BD²+CD²，

理由：如图2，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．

与（1）同理可证CE=BD，CE⊥BD，

∵∠EAD=90°AE=AD，

∴ED=AD，

在RT△ECD中，ED²=CE²+CD²，

∴2AD²=BD²+CD²．

（3）如图3，①当D在BC边上时，将线段AD₁绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AE，连接BE，

与（1）同理可证△ABE≌△ACD₁，

∴BE=CD₁，BE⊥BC，

∵BD=CD，

∴BD₁=BE，

∴tan∠BD₁E==，

∴∠BD₁E=30°，

∵∠EAD₁=EBD₁=90°，

∴四边形A、D₁、B、E四点共圆，

∴∠EAB=∠BD₁E=30°，

∴∠BAD₁=90°﹣30°=60°；

②将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，连接CF．

同理可证：∠CFD₂=30°，

∵∠FAD₂=FCD₂=90°，

∴四边形A、F、D₂、C四点共圆，

∴∠CAD₂=∠CFD₂=30°，

∴∠BAD₂=90°+30°=120°，

综上，∠BAD的度数为60°或120°．