Question

AB为⊙O直径，AC，AD为⊙O的弦，AB=4，AC=2

2

，AD=2

3

，则∠CAD=

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：分类讨论

分析：分类讨论：当AD和AC在AB的同旁，如图1，连结BD、BC，根据圆周角定理得到∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中利用勾股定理计算出BC=2

2

，则△ABC为等腰直角三角形，所以∠BAC=45°；在Rt△ADB中，利用勾股定理计算出BD=2，则∠BAD=30°，然后分类讨论：当AD和AC在AB的同旁，如图1，∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°；当AD和AC在AB的两旁，如图2，∠CAD=∠BAC+∠BAD=75°．

解答：解：连结BD、BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=4，AC=2

2

，
∴BC=

AB2-AC2

=2

2

，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
在Rt△ADB中，∵AB=4，AD=2

3

，
∴BD=

AB2-AD2

=2，
∴∠BAD=30°，
当AD和AC在AB的同旁，如图1，
∠CAD=∠BAC-∠BAD=45°-30°=15°；
当AD和AC在AB的两旁，如图2，
则∠CAD=∠BAC+∠BAD=45°+30°=75°．
综上所述，∠CAD的度数为15°或75°．
故答案为15°或75°．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的判定与性质和含30度的直角三角形三边的关系．