题目内容

已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C和点Q，DC、DQ分别交反比例函数的图象于点F和点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图象于点E．
（1）当点D的纵坐标为9时，求：点E、F的坐标．
（2）当点D在线段OP的延长线上运动时，试猜想AE与DF的数量关系，并证明你的猜想．

解：（1）设正比例函数与反比例函数的解析式分别为y=k₁x，y= $\text{[math]}$ ，把P（2，3）分别代入得k₁= $\text{[math]}$ ，k₂=6，
∴正比例函数与反比例函数的解析式分别为y= $\text{[math]}$ x，y= $\text{[math]}$ ，
又∵点D的纵坐标为9，
∴对于y= $\text{[math]}$ x，令y=9，得9= $\text{[math]}$ x，解得x=6，
∴D点坐标为（6，9），
∵DC⊥x轴，DQ⊥y轴，
∴A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6，
∵点A与点F在反比例y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴把y=9代入y= $\text{[math]}$ 得x= $\text{[math]}$ ，把x=6代入y= $\text{[math]}$ 得y=1，
∴A点坐标为（ $\text{[math]}$ ，9），F点坐标为（6，1），
又∵AB⊥x轴，
∴点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为 $\text{[math]}$ ，
而点E在直线y= $\text{[math]}$ x上，把x= $\text{[math]}$ 代入y= $\text{[math]}$ x得y=1，
∴E点坐标为（ $\text{[math]}$ ，1）；

（2）AE与DF相等．理由如下：
设D点坐标为（a， $\text{[math]}$ a），
则A点的纵坐标为 $\text{[math]}$ a，点F的横坐标为a，
把y= $\text{[math]}$ a代入y= $\text{[math]}$ 得x= $\text{[math]}$ ，把x=a代入y= $\text{[math]}$ 得y= $\text{[math]}$ ，
∴A点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ a），F点坐标为（a， $\text{[math]}$ ），
∴DF= $\text{[math]}$ a- $\text{[math]}$ ；
又∵点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为 $\text{[math]}$ ，
而点E在直线y= $\text{[math]}$ x上，把x= $\text{[math]}$ 代入y= $\text{[math]}$ x得y= $\text{[math]}$ ，
∴E点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
∴AE= $\text{[math]}$ a- $\text{[math]}$ ，
∴AE=DF．
分析：（1）先利用待定系数法可求出正比例函数与反比例函数的解析式分别为y= $\text{[math]}$ x，y= $\text{[math]}$ ；把y=9代入y= $\text{[math]}$ x，得x=6，可确定D点坐标为（6，9），根据题意可得A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6，然后把y=9代入y= $\text{[math]}$ 得x= $\text{[math]}$ ，把x=6代入y= $\text{[math]}$ 得y=1，则A点坐标为（ $\text{[math]}$ ，9），F点坐标为（6，1），即得到点E的横坐标为 $\text{[math]}$ ，x= $\text{[math]}$ 代入y= $\text{[math]}$ x得y=1，从而可确定E点坐标为（ $\text{[math]}$ ，1）；
（2）设D点坐标为（a， $\text{[math]}$ a），与（1）一样可得A点的纵坐标为 $\text{[math]}$ a，点F的横坐标为a，把y= $\text{[math]}$ a代入y= $\text{[math]}$ 得x= $\text{[math]}$ ，把x=a代入y= $\text{[math]}$ 得y= $\text{[math]}$ ，即可得到A点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ a），F点坐标为（a， $\text{[math]}$ ），可得DF= $\text{[math]}$ a- $\text{[math]}$ ；而点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为 $\text{[math]}$ ，把x= $\text{[math]}$ 代入y= $\text{[math]}$ x得y= $\text{[math]}$ ，则E点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），则有AE= $\text{[math]}$ a- $\text{[math]}$ ，即可得到AE=DF．
点评：本题考查了反比例函数综合题：点在图象上，点的坐标满足图象的解析式；利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式；平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同；平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同．