Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 轴交于A（，0），B（2，0），且与轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）点P是x轴下方的抛物线上一动点， 连接PO，PC，

并把△POC沿CO翻折，得到四边形，求出使四边形为菱形的点P的坐标；

(3) 在此抛物线上是否存在点Q，使得以A，C，B，Q四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在, 求出Q点的坐标；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）抛物线的解析式为，△ABC是直角三角形

（2）P点的坐标为（,） 或（,）

（3）存在，满足题目条件的点Q为(，)或(-，9)

【解析】

试题分析：(1) 根据题意，将A（，0），B（2，0）代入中，解得

抛物线的解析式为      

当=0时，. ∴点C的坐标为（-1，0）.

∴在△AOC中，AC===。

在△BOC中，BC===。 

AB=OA+OB=+2=，∵AC ²+BC ²=+5=="AB" ²，

∴△ABC是直角三角形。              

(2) 设P点坐标为（x，），交CO于E

∵四边形POPC是菱形，∴PC＝PO．

连结 则PE⊥CO于E，∴OE=EC= ∴=．

∴=   解得=，=

∴P点的坐标为（,） 或（,）

（3）存在。由(1)知，AC^BC，设Q点坐标为（，）

①若以BC为底边，则BC//AQ，∴∠ABC=∠QAB  如图① 

过点Q作QE⊥x轴于点E，则有△QAE∽△ABC  ∴

∴      解得₁=   ₂= -(舍去)。

当=时，y= ，∴点Q(，)。   

k若以AC为底边，则BQ//AC，∴∠CAB=∠QBA

过点Q作QF⊥x轴于点F，则有△QBF∽△BAC  ∴

∴     解得₁=   ₂=" 2" (舍去)。

当=时，y=9，∴点Q(，9)。   

综上所述，满足题目条件的点Q为(，)或(-，9)。

考点：抛物线，勾股定理逆定理，相似三角形

点评：本题考查抛物线，勾股定理逆定理，相似三角形，解答本题需要考生掌握待定系数法，会用待定系数法求抛物线的解析式，熟悉勾股定理逆定理，会用其来判定一个三角形是否是直角三角形，掌握相似三角形的方法，会证明两个三角形相似