Question

如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，tan∠OBM=，则AB的长是

1. A.
   2cm
2. B.
   3cm
3. C.
   4cm
4. D.
   2cm

Answer 1

C
分析：在直角三角形OBM中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠OBM，由tan∠OBM的值设出OM=3xcm与BM=4xcm，再由直径CD的长求出半径OB的长，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出BM的长，再由CD垂直于AB，利用垂径定理得到M为AB的中点，即可求出AB的长．
解答：在Rt△OBM中，tan∠OBM==，
设OM=3xcm，BM=4xcm，由直径CD=5cm，得到OB=2.5cm，
根据勾股定理得：OB²=OM²+BM²，即6.25=9x²+16x²，
解得：x=0.5，
则BM=4x=2cm，
∵AB⊥DC，
∴M为AB的中点，即AM=BM=AB，
则AB=2BM=4cm．
故选C．
点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，利用了方程的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．