Question

5．某超市在五十天内试销一款成本为40元/件的新型商品，此款商品在第x天的销售量p（件）与销售的天数x的关系为p=120-2x，销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时，q=x+60；当25≤x≤50时，q=40+$\frac{1125}{x}$．
（1）求该超市销售这款商品第x天获得的利润y（元）关于x的函数关系式；
（2）这五十天，该超市第几天获得的利润最大？最大利润为多少？

Answer 1

分析 （1）根据y=p（q-40），根据1≤x＜25时，q=x+60；25≤x≤50时，q=40+$\frac{1125}{x}$分别代入可得；
（2）根据二次函数的性质和反比例函数的性质分别求得最大值，比较可得．

解答 解：（1）y=p（q-40），
当1≤x＜25时，y=（120-2x）（x+60-40）=-2x²+80x+2400；
当25≤x≤50时，y=（120-2x）（40+$\frac{1125}{x}$-40）=$\frac{135000}{x}$-2250；

（2）当1≤x＜25时，y=-2x²+80x+2400=-2（x-20）²+3200，
∴当x=20时，y取得最大值3200；
当25≤x≤50时，y=$\frac{135000}{x}$-2250，
当x=25时，y取得最大值为3150；
答：该超市第20天获得的利润最大，最大利润为3200元．

点评 本题主要考查二次函数的应用与反比例函数的应用，根据题意得出y关于x的函数解析式及熟练掌握函数的性质是解题的关键．