Question

19．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上中线，若AD=$\sqrt{5}$，△ABC周长为6+2$\sqrt{5}$，则△ABC的面积为4．

Answer 1

分析 设AB长为a，AC长为b，根据AD为直角三角形ABC斜边BC的中线，可求出BC的长度，即求出a²+b²的值，然后根据△ABC周长为6+2$\sqrt{5}$，可求出a+b的值，求解即可．

解答 解：设AB长为a，AC长为b，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上中线且AD=$\sqrt{5}$，
∴BC=2$\sqrt{5}$，
∴a²+b²=（2$\sqrt{5}$）²=20，
又∵△ABC周长为6+2$\sqrt{5}$，
∴a+b=6+2$\sqrt{5}$-2$\sqrt{5}$=6，
∴ab=$\frac{1}{2}$[（a+b）²-（a²+b²）]=$\frac{1}{2}$[36-20]=8．
∴△ABC的面积为：$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×8=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了二次根式的应用，解答本题的关键在于根据AD为直角三角形ABC斜边BC的中线，求出BC的长度．