Question

已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连结MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.

（1）直接写出点D的坐标；
（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP.
①若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；
②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得的值最大.若存在，求出T点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）① ，；②

试题分析：（1）根据矩形及平移的性质即可得到结果；
（2）①由，可得点B的坐标，根据抛物线经过原点可设，再根据抛物线经过点与点可求得抛物线的解析式，则可设点再分∽与∽两种情况，根据相似三角形的性质即可求得结果；
②先求得抛物线的对称轴为直线，根据抛物线的对称性可得，则要使得的值最大，即是使得的值最大，根据三角形的三边关系可得当、、三点在同一直线上时，的值最大，根据待定系数法求得直线的解析式，即可求得结果.
（1）；
（2）① ∵，
∴
∵抛物线经过原点
∴设抛物线的解析式为
又抛物线经过点与点
∴，解得：
∴抛物线的解析式为
∵点在抛物线上
∴设点
1)若∽，则，
解得(舍去)，，
∴点.

2)若∽，则，，
解得(舍去)，，
∴点
②存在点，使得的值最大.
抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.
∵点、点关于直线对称，
∴
要使得的值最大，即是使得的值最大，
根据三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点在同一直线上时，的值最大.设过、两点的直线解析式为，
∴   解得：
∴直线的解析式为.
当时，.
∴存在一点使得最大.
点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，需要学生熟练掌握二次函数的性质的应用.