Question

【题目】如图,抛物线y1的顶点在y轴上,y2由y1平移得到,它们与x轴的交点为A、B、C,且2BC=3AB=4OD=6,若过原点的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等,则这条直线的解析式为____________．

Answer 1

【答案】y=x

【解析】

由2BC=3AB=4OD=6可得A、B、C、D的坐标，然后由待定系数法求出y1、y2的解析式，设过原点的直线解析式为y=kx，将直线分别与y1、y2联立，求出交点F、G的横坐标之差，交点H、K的横坐标之差，根据直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，可知F、G的横坐标之差与交点H、K的横坐标之差也相等，建立方程即可求出k，进而得到直线解析式.

∵2BC=3AB=4OD=6，

∴BC=3，AB=2，OD=，

∴A（-1,0），B（1,0），C（4,0），D（0，）

将A（-1,0），B（1,0），D（0，）代入得，

，解得，

∴①

∵是由平移得到，

∴设

将B（1,0），C（4,0）代入得，

，解得，

∴②

设过原点的直线解析式为y=kx③，与交于F、G，与交于H、K，如下图所示，

联立①、③得：，整理得，

∴，

∴F、G两点横坐标之差为

联立①、②得：，整理得，

∴，

∴H、K两点横坐标之差为

∵FG=HK

∴

解得，故直线解析式为.