Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）AC＝　 　cm；

（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；

（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？

Answer 1

【答案】（1）3；（2）t为秒或秒；（3）t为3秒或秒或6秒．

【解析】

（1）根据勾股定理可以得到，代入数值计算即可；

（2）点P恰好在AB的垂直平分线上时，分两种情况讨论：①当点P运动到点D时；②当点P运动到点E时，根据图形计算即可；

（3）若△ACP是等腰三角形，分情况讨论：①当AP＝AC时；②当CA＝CP时，利用勾股定理，三角形面积相等来计算即可．

（1）如甲图所示：

∵∠ACB＝90°，

∴△ABC是直角三角形，

在ABC中，由勾股定理得，

，

又AB＝5cm，BC＝4cm，

，

故答案为3；

（2）点P恰好在AB的垂直平分线上时，

如乙图所示：

∵DE是线段AB的垂直平分线，

∴AD＝BD＝，AE＝BE，

①当点P运动到点D时，

∵AB＝5cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度运动，

∴＝秒，

②当点P运动到点E时，设BE＝x，则EC＝4﹣x，

∵AE＝BE，

∴AE＝x，

在Rt△AEC中，由勾股定理得，

∵AC＝3，AE＝x，EC＝4﹣x，

∴32+（4﹣x）2＝， 解得：x＝，

∴AB+BE＝，

∴秒，

即点P在AB的垂直平分线上时，运动时间t为秒或秒，

故答案为：秒或秒；

（3）运动过程中，△ACP是等腰三角形，

①当AP＝AC时，如丙图（1）所示：

∵AC＝3，

∴AP＝3，

∴＝3秒，

②当CA＝CP时，如丙图（2）所示：

若点P运动到时，AC＝C，过点C作CH⊥AB

交AB于点H，

∵，

AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，

∴CH＝cm，

在Rt△AHC中，由勾股定理得，

AH＝cm，

又∵A＝2AH＝cm，

∴秒，

若点P运动到时，AC＝C，

∵AC＝3cm，

∴C＝3cm，

又∵B＝BC﹣C，

∴B＝1cm，

∴AP+B＝5+1＝6cm，

∴＝6秒，

综合所述，△ACP是以AC为腰的等腰三角形时，t为3秒或秒或6秒，

故答案为：3秒或秒或6秒．