Question

【题目】感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）

探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．

拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝6，BD＝4，则DE的长为　 　．

Answer 1

【答案】探究：见解析；拓展：.

【解析】

感知：先判断出∠BAP＝∠DPC，进而得出结论；

探究：根据两角相等，两三角形相似，进而得出结论；

拓展：利用△BDP∽△CPE得出比例式求出CE，结合三角形内角和定理证得AC⊥AB且AC＝AB；最后在直角△ADE中利用勾股定理来求DE的长度．

解：感知：∵∠APD＝90°，

∴∠APB+∠DPC＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠APB+∠BAP＝90°，

∴∠BAP＝∠DPC，

∵AB∥CD，∠B＝90°，

∴∠C＝∠B＝90°，

∴△ABP∽△PCD；

探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，

∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．

∵∠B＝∠APD，

∴∠BAP＝∠CPD．

∵∠B＝∠C，

∴△ABP∽△PCD；

拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，

∴，

∵点P是边BC的中点，

∴BP＝CP＝3，

∵BD＝4，

∴，

∴CE＝，

∵∠B＝∠C＝45°，

∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，

即AC⊥AB且AC＝AB＝6，

∴AE＝AC﹣CE＝6﹣＝，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，

在Rt△ADE中，DE＝＝＝．

故答案是：．